| Te bewijzen : | 5n − 8n2 + 4n − 1 is deelbaar door 64 |
| Bewijs : | |
| Deel I |
Voor n = 0, 1 én 2 is de uitdrukking gelijk aan 0. We beginnen daarom met n = 3. Dan is de uitdrukking gelijk aan 53 − 8.32 + 4.3 − 1 = 125 − 72 + 12 − 1 = 137 − 73 = 64 → O.K. |
| Deel II | Gegeven : | 5k − 8k2 + 4k − 1 is deelbaar door 64 ( I.H.) |
| Te bewijzen: | 5k+1 − 8(k+1)2 + 4(k+1) − 1 is deelbaar door 64 | |
| Bewijs : | 5k+1 − 8(k+1)2 + 4(k+1) − 1 | |
| __ = 5.5k − 8(k2+2k+1) + 4k + 3 | ||
| __ = 5.5k − 8k2 − 12k − 5 | ||
| __ = 5.5k − 40k2 + 32k2 + 20k − 32k − 5 | ||
| __ = 5.5k − 40k2 + 20k − 5 + 32k2 − 32k | ||
| __ = 5.(5k − 8k2 + 4k − 1) + 32k(k − 1) | ||
|
Van de twee termen is de eerste deelbaar door 64 als gevolg van de inductiehypothese.
De tweede is niet alleen deelbaar door 32 maar ook door 64 want in het product k(k−1) is één van de twee factoren zeker een even getal (factor 2). (Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is altijd deelbaar door 2) De hele som is dus deelbaar door 64 Q.E.D. |