Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	5²ⁿ⁺¹ + 11²ⁿ⁺¹ + 17²ⁿ⁺¹ is deelbaar door 33
m.a.w.	33 \| [5²ⁿ⁺¹ + 11²ⁿ⁺¹ + 17²ⁿ⁺¹]
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is de som gelijk aan 5 + 11 + 17 = 33 → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	5^2k+1 + 11^2k+1 + 17^2k+1 is deelbaar door 33 ( I.H.)
	Te bewijzen:	5^2k+3 + 11^2k+3 + 17^2k+3 is deelbaar door 33
	Bewijs :	5^2k+3 + 11^2k+3 + 17^2k+3
		__ = 5².5^2k+1 + 11².11^2k+1 + 17².17^2k+1
		__ = 25.5^2k+1 + 121.11^2k+1 + 289.17^2k+1
		__ = 25.5^2k+1 + 25.11^2k+1 + 96.11^2k+1 + 25.17^2k+1 + 264.17^2k+1
		__ = 25.(5^2k+1+ 11^2k+1+ 17^2k+1) + 66.11^2k+1 + 30.11^2k+1 + 8.33.17^2k+1
		__ = 25.(5^2k+1+ 11^2k+1+ 17^2k+1) + 3.33.11^2k+1+ 10.3.11.11^2k+ 8.33.17^2k+1
		De eerste term (haakjes) is deelbaar door 33 vanwege de inductiehypothese de drie andere termen omwille van de factor 33. De hele som is dus deelbaar door 33 → Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 0 (Deel I),
n = 1 (Deel II), n = 2 (Deel II), n = 3 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP