| Te bewijzen : | n4 − n2 is deelbaar door 12 |
| m.a.w. | n4 − n2 is een veelvoud van 12 |
| Bewijs : | |
| Deel I |
(De triviale gevallen n = 0 en n = 1 laten we buiten beschouwing) Voor de kleinste n-waarde, nl. 2 is de uitdrukking gelijk aan 2⁴ − 2² = 16 − 4 = 12 → deelbaar door 12 O.K. |
| Deel II | Gegeven : | k4 − k2 is deelbaar door 12 ( I.H.) |
| Te bewijzen: | (k+1)4 − (k+1)2 is deelbaar door 12 | |
| Bewijs : | (k+1)4 − (k+1)2 | |
| __ = k⁴ + 4k³ + 6k² + 4k + 1 − k² − 2k − 1 | ||
| __ = (k⁴ − k²) + 2k(2k² + 3k + 1) V(− 1) = 2−3+1=0 | ||
| __ = (k⁴ − k²) + 2k(k + 1)(2k + 1) | ||
|
De eerste term is deelbaar door 12 omwille van de Inductiehypothese. Daar het product van twee opeenvolgende getallen altijd even is, is het product 2k(k + 1) en dus de tweede term zeker deelbaar door 4 maar dat is nog onvoldoende. We moeten nu zien aan te tonen dat het product k(k + 1)(2k + 1) deelbaar is door 3. Nu is elk natuurlijk getal te schrijven als een drievoud − 1, een drievoud of een drievoud + 1. In het eerste geval is k+1 deelbaar door 3, in het tweede geval is k deelbaar door 3, in het derde geval (k=3v+1) kunnen we de derde factor 2k+1 schrijven als 2(3v+1)+1 = 6v+3, dus ook deelbaar door 3. In alle gevallen vinden we de factor 3 die we nog nodig hadden. Bijgevolg is de tweede term ook deelbaar door 12 waardoor het bewijs is afgerond. | ||
| Deze oefening is een voorbeeld waarbij het rechtstreeks bewijs (dus NIET door Volledige Inductie) eenvoudiger is. n4 − n2 = n2(n2 − 1) = n.(n − 1).n.(n + 1). Het deel (n − 1).n.(n + 1) (drie opeenvolgende natuurlijke getallen) is al zeker deelbaar door 3. Als n even is vinden we twee factoren 2 in n² (n.n). Als n oneven is vinden de we zowel in n − 1 als in n + 1 een factor 2. Het product is dus zeker deelbaar door 4. Als het deelbaar is door 3 en door 4 is het ook deelbaar door 12 → Q.E.D. |
||