Bewijs door Volledige Inductie

Bewijs van een stelling door Volledige Inductie (mathematical Induction) : Voorbeeld 229

Te bewijzen :	n.(n²− 1) is deelbaar door 24 als n ONEVEN is
m.a.w.	voor alle oneven getallen n is n.(n²− 1) een veelvoud van 24
Bewijs :
Deel I	(Het triviale geval n = 1 laten we buiten beschouwing) Voor de kleinste ONEVEN n-waarde, nl. 3 wordt de uitdrukking gelijk aan 3.(3² − 1) = 3.8 = 24 → deelbaar door 24 O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	k.(k²− 1) is deelbaar door 24 (k = 3, 5, 7, ...) ( I.H.)
	Te bewijzen:	(k + 2).[(k+2)²− 1] is deelbaar door 24 Merk op dat we k+2 en niet k+1 hebben geschreven omdat het volgende oneven getal altijd twee eenheden verder ligt
	Bewijs :	(k + 2).[(k+2)²− 1]
		__ = (k + 2)(k² + 4k + 3)
		__ = k³ + 4k² + 3k + 2k² + 8k + 6
		__ = k³ + 6k² + 11k + 6
		__ = k³ − k + 6k² + 12k + 6
		__ = (k³ − k) + 6.(k² + 2k + 1)
		__ = (k³ − k) + 6.(k + 1)²
		Van deze twee termen is de eerste deelbaar door 24 vanwege de Inductie Hypothese. De tweede is alleszins deelbaar door 6, maar moet deelbaar zijn door 24. Dit zal het geval zijn als (k + 1)² een viervoud is. En dat is het geval ! Immers k is oneven, zodat k even is. En een even getal in het kwadraat is altijd deelbaar door 4 !

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 3 (Deel I), n = 5 (Deel II),
n = 7 (Deel II), n = 9 ... m.a.w. voor elk ONEVEN natuurlijk getal n (zelfs 1 inbegrepen)

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

*Nederlands*	*→ English*	*→ Français*	*→ Deutsch*	*→ Portuguès*	*→ Español*
Gegeven	Given	Donné	Gegeben	Dado	Dado
Te bewijzen	To prove	A prouver	zu beweisen	a provar	a demostrar
Bewijs	Prove	Preuve	Beweis	prova	pruebas
voor de kleinste n-waarde	for the smallest n-value	pour la plus petite valeur n	für den kleinsten n-Wert	para o valor n mais pequeno	para el valor n más pequeño
eerste term	first term	premier terme	der erste Term	o primeiro termo	primer término
m.a.w.	i.e.	c'est-à-dire	d.h.	i.e.	es decir
deelbaar door	divisible by	divisible par	teilbar durch	divisível por	divisible por
even - oneven	even - odd	pair - impair	gerade - ungerade	par - impar	par - impar
laatste getal	last number	dernier numéro	letzte Zahl	último número	último número
geheel	integer	entier	ganze	inteiro	entero