| Te bewijzen : | n.(n2 − 1) is deelbaar door 24 als n ONEVEN is |
| m.a.w. | voor alle oneven getallen n is n.(n2 − 1) een veelvoud van 24 |
| Bewijs : | |
| Deel I |
(Het triviale geval n = 1 laten we buiten beschouwing) Voor de kleinste ONEVEN n-waarde, nl. 3 wordt de uitdrukking gelijk aan 3.(3² − 1) = 3.8 = 24 → deelbaar door 24 O.K. |
| Deel II | Gegeven : | k.(k2 − 1) is deelbaar door 24 (k = 3, 5, 7, ...) ( I.H.) |
| Te bewijzen: |
(k + 2).[(k+2)2 − 1] is deelbaar door 24 Merk op dat we k+2 en niet k+1 hebben geschreven omdat het volgende oneven getal altijd twee eenheden verder ligt | |
| Bewijs : | (k + 2).[(k+2)2 − 1] | |
| __ = (k + 2)(k² + 4k + 3) | ||
| __ = k³ + 4k² + 3k + 2k² + 8k + 6 | ||
| __ = k³ + 6k² + 11k + 6 | ||
| __ = k³ − k + 6k² + 12k + 6 | ||
| __ = (k³ − k) + 6.(k² + 2k + 1) | ||
| __ = (k³ − k) + 6.(k + 1)² | ||
|
Van deze twee termen is de eerste deelbaar door 24 vanwege de Inductie Hypothese. De tweede is alleszins deelbaar door 6, maar moet deelbaar zijn door 24. Dit zal het geval zijn als (k + 1)² een viervoud is. En dat is het geval ! Immers k is oneven, zodat k even is. En een even getal in het kwadraat is altijd deelbaar door 4 ! |