Bewijs van een stelling door Volledige Inductie (mathematical Induction) : Voorbeeld 208


Te bewijzen :27.33n − 26n − 27   is deelbaar door 132   ∀ n ∈ ℕ
m.a.w. 27.33n − 26n − 27   is een veelvoud van 169   ∀ n ∈ ℕ
Bewijs :
Deel I Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is de uitdrukking gelijk aan
27.30 − 26.0 − 27 = 27 − 27 = 0 → deelbaar door 169 → O.K.
Nu gaan we bewijzen dat  S( k ) ⇒  S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor  n = k + 1
Deel II Gegeven : 27.33k − 26k − 27   is deelbaar door 132  ( I. H.)
Te bewijzen: 27.33(k+1) − 26(k+1) − 27   is deelbaar door 132
Bewijs :   27.33(k+1) − 26(k+1) − 27
= 27.33k.33 − 26k − 26 − 27
= 27.33k.(26+1) − 26k − 26 − 27
= 27.33k.26 + 27.33k − 26k − 26 − 27
= (27.33k − 26k − 27) + 26.33k+3 − 26
= (27.33k − 26k − 27) + 26.(33k+3 − 1)
De eerste term is deelbaar door 132 vanwege de inductiehypothese.
Daar 26 = 13.2  moeten we dus nog aantonen dat 33k+3−1 deelbaar is door 13.
Dit kan weer gebeuren door Volledige Inductie, maar gezien er de formule bestaat
an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + an−3 + ... + 1)   kunnen we schrijven
33k+3 − 1 = 33(k+1) − 1 = (3³)k+1 − 1 = 27k+1 − 1 = (27 − 1) (27k + ... + 1)
waarmee is aangetoond dat 33k+3−1 deelbaar is door 26, dus ook door 13 (26=13×2)
Dus ook de tweede term is deelbaar door 132 (169), en dus de hele som   → Q.E.D.
Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n
I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP
Nederlands → English→ Français→ Deutsch → Portuguès→ Español
Gegeven Given Donné Gegeben Dado Dado
Te bewijzen To prove A prouver zu beweisen a provar a demostrar
Bewijs Prove Preuve Beweis prova pruebas
voor de kleinste n-waardefor the smallest n-valuepour la plus petite valeur nfür den kleinsten n-Wertpara o valor n mais pequenopara el valor n más pequeño
eerste term first term premier terme der erste Term o primeiro termo primer término
m.a.w. i.e. c'est-à-dire d.h. i.e. es decir
deelbaar door divisible by divisible par teilbar durch divisível por divisible por
even - oneven even - odd pair - impair gerade - ungerade par - impar par - impar
laatste getal last number dernier numéro letzte Zahl último númeroúltimo número
geheel integer entier ganze inteiro entero