Bewijs van een stelling door Volledige Inductie (mathematical Induction) : Voorbeeld 208
Te bewijzen : | 27.33n − 26n − 27 is deelbaar door 132 ∀ n ∈ ℕ |
m.a.w. | 27.33n − 26n − 27 is een veelvoud van 169 ∀ n ∈ ℕ |
Bewijs : | |
Deel I |
Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is de uitdrukking gelijk aan 27.30 − 26.0 − 27 = 27 − 27 = 0 → deelbaar door 169 → O.K. |
Deel II | Gegeven : | 27.33k − 26k − 27 is deelbaar door 132 ( I. H.) |
Te bewijzen: | 27.33(k+1) − 26(k+1) − 27 is deelbaar door 132 | |
Bewijs : | 27.33(k+1) − 26(k+1) − 27 | |
= 27.33k.33 − 26k − 26 − 27 | ||
= 27.33k.(26+1) − 26k − 26 − 27 | ||
= 27.33k.26 + 27.33k − 26k − 26 − 27 | ||
= (27.33k − 26k − 27) + 26.33k+3 − 26 | ||
= (27.33k − 26k − 27) + 26.(33k+3 − 1) | ||
De eerste term is deelbaar door 132 vanwege de inductiehypothese. Daar 26 = 13.2 moeten we dus nog aantonen dat 33k+3−1 deelbaar is door 13. Dit kan weer gebeuren door Volledige Inductie, maar gezien er de formule bestaat an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + an−3 + ... + 1) kunnen we schrijven 33k+3 − 1 = 33(k+1) − 1 = (3³)k+1 − 1 = 27k+1 − 1 = (27 − 1) (27k + ... + 1) waarmee is aangetoond dat 33k+3−1 deelbaar is door 26, dus ook door 13 (26=13×2) Dus ook de tweede term is deelbaar door 132 (169), en dus de hele som → Q.E.D. |
Nederlands | → English | → Français | → Deutsch | → Portuguès | → Español |
Gegeven | Given | Donné | Gegeben | Dado | Dado |
Te bewijzen | To prove | A prouver | zu beweisen | a provar | a demostrar |
Bewijs | Prove | Preuve | Beweis | prova | pruebas |
voor de kleinste n-waarde | for the smallest n-value | pour la plus petite valeur n | für den kleinsten n-Wert | para o valor n mais pequeno | para el valor n más pequeño |
eerste term | first term | premier terme | der erste Term | o primeiro termo | primer término |
m.a.w. | i.e. | c'est-à-dire | d.h. | i.e. | es decir |
deelbaar door | divisible by | divisible par | teilbar durch | divisível por | divisible por |
even - oneven | even - odd | pair - impair | gerade - ungerade | par - impar | par - impar |
laatste getal | last number | dernier numéro | letzte Zahl | último número | último número |
geheel | integer | entier | ganze | inteiro | entero |