| Te bewijzen : | 3n − 2.n2 − 1 is deelbaar door 8 (n = 1, 2, 3, ...) |
| m.a.w. | 3n − 2.n2 − 1 is een veelvoud van 8 |
| Bewijs : | |
| Deel I | |
| Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is de uitdrukking gelijk aan 3 − 2 − 1 = 0 → deelbaar door 8 → O.K. |
| Deel II | Gegeven : | 3k − 2.k2 − 1 is deelbaar door 8 ( I. H.) |
| Te bewijzen: | 3k+1 − 2.(k+1)2 − 1 is deelbaar door 8 | |
| Bewijs : | 3k+1 − 2.(k+1)2 − 1 | |
| = 3.3k − 2k2 − 4k − 2 − 1 | ||
| = 3k + 2.3k − 2.k2 − 4k − 2 − 1 | ||
| = (3k − 2.k2 − 1) + 2.(3k − 2k − 1) | ||
|
Daar (3k − 2.k2 − 1) deelbaar is door 8 vanwege de inductiehypothese, blijft er nog aan te tonen dat (3k − 2k − 1) deelbaar is door 4 : a) als k even is kan het voorgesteld worden door 2p (met p een nat.getal) (3k − 2k − 1) = (32p − 4p − 1) = (9p − 1) − 4p 9p − 1 is deelbaar door 8, dus ook door 4 volgt uit de formule an − 1 = (a − 1).(an−1 + an−2 + ... + 1) Uiteraard is 4p deelbaar door 4 zodat (3k − 2k − 1) deelbaar is door 4 b) als k oneven is kan het voorgesteld worden door 2p+1 (met p een nat.getal) (3k − 2k − 1) = (32p+1 − 4p − 2 − 1) = 3.32p − 4p − 3 = 3.(9p − 1) − 4p Wegens dezelfde redenen als in a) mogen we besluiten dat 3.(9p − 1) − 4p deelbaar is door 4 → Q.E.D P.S. Het is mogelijk om aan te tonen dat (3k − 2k − 1) deelbaar is door 4 door opnieuw het principe van Volledige Inductie toe te passen. |