Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	1³ + 2³ + 3³ + ... + (2n)³ = n².(2n + 1)²
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{2n}\: i^{\,3}=n^2.(2n+1)^2$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9 (som eerste twee termen) RL = 1².(2 + 1)² = 1.3² = 9 LL= RL → O.K. (als men het eerste lid uitbreidt met de term 0³ als eerste term, kan men zelfs starten met n = 0 → beide leden zijn dan gelijk aan 0)

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	1³ + 2³ + 3³ + ... + (2k)³ = k².(2k + 1)²
	Te bewijzen : .	1³ + 2³ + 3³ + ... + (2k)³ + (2k+1)³ + (2k+2)³ = (k+1)².(2k + 3)² ^{ja! twee termen erbij ja, +3, niet +2}
	Bewijs :	LL = k².(2k + 1)² + (2k+1)³ + (2k+2)³
		__ = 4 k⁴ + 4k³ + k² + 8k³ + 12k² + 6k + 1 + 8k³ + 24k⁴ + 24k + 8
		__ = 4k⁴ + 20k³ + 37k² + 30k + 9
		RL = (k² + 2k + 1).(4k² + 12k + 9)
		__ = 4k⁴ + 12k³ + 9k² + 8k³ + 24k² + 18k + 4k² + 12k + 9
		__ = 4k⁴ + 20k³ + 37k² + 30k + 9
		LL = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP