Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\sqrt{1+n\sqrt{1+(n\! +\! 1)\sqrt{\cdots }}}\: =\: n+1$
zodat bv.	$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots }}}}\: =\: 3$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is $LL=\sqrt{1+0\sqrt{\cdots }}\: =\: \sqrt{1}=1$ RL = 0 + 1 = 1 LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$\sqrt{1+k\sqrt{1+(k\! +\! 1)\sqrt{\cdots }}}\: =\: k+1$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\sqrt{1+(k\! +\!1)\sqrt{1+(k\! +\! 2)\sqrt{\cdots }}}\: =\: k+2$
	Bewijs :	Kwadrateer beide leden van de inductiehypothese :
		__ $1+k\sqrt{1+(k\! +\! 1)\sqrt{1+(k\!+\!2)\sqrt{\cdots }}}\: =\: (k+1)^2=k^2+2k+1$
		__ $\Rightarrow \; k\cdot \sqrt{1+(k\! +\! 1)\sqrt{1+(k\! +\!2)\sqrt{\cdots} }}\: =\: k^2 + 2k$ _{beide leden nu delen door k}
		__ $\Rightarrow \; \sqrt{1+(k\! +\! 1)\sqrt{1+(k\! +\!2)\sqrt{\cdots} }}\: =\: k + 2$
		__ Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 0 (Deel I),
n = 1 (Deel II), n = 2 (Deel II), n = 3 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP