Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\left ( 1-\frac{1}{2^{\, 2}} \right ) \left ( 1-\frac{1}{3^{\, 2}} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{1}{n^{\, 2}} \right )\:=\: \frac{n+1}{2n}$
m.a.w.	$\prod_{i=2}^{n\; } \: \! \left ( 1-\frac{1}{i^{\, 2}} \right )\: =\: \frac{n+1}{2n}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 2 is $LL=1-\frac{1}{2^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ ^{(de eerste factor)} $RL=\frac{2+1}{2.2}=\frac{3}{4}$ LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$\prod_{i=2}^{k\; } \: \! \left ( 1-\frac{1}{i^{\, 2}} \right )\: =\: \frac{k+1}{2k}$
	Te bewijzen:	$\prod_{i=2}^{k+1} \: \! \left ( 1-\frac{1}{i^{\, 2}} \right )\: =\: \frac{k+2}{2\, (k+1)}$
	Bewijs :	$LL= \left [ \prod_{i=2}^{k\; } \: \! \left ( 1-\frac{1}{i^{\, 2}} \right )\: \right ]\cdot \left [ 1-\frac{1}{(k+1)^2} \right ]$
		__ $=\: \frac{k+1}{2k}\cdot \frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2}$
		__ $=\: \frac{1}{2k}\cdot \frac{k^2+2k}{k+1}$
		__ $=\: \frac{k+2}{2\, (k+1)} = RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 2 (Deel I), n = 3 (Deel II),
n = 4 (Deel II), n = 5 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP