Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$f(x)=\frac{x}{1-x}\; \Rightarrow \;\; f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$
Bewijs :
Deel I	$\newline f\, \mathbf{'}(x) = \frac{1.(1-x)-x.(-1)}{(1-x)})=\frac{1-x+x}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2} \newline f^{(1)}(x)=\frac{1!}{(1-x)^{1+1}}=\frac{1}{(1-x)^2}$ formule is juist voor n = 1 → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$f^{(k)}(x)=\frac{k\, !}{(1-x)^{k+1}}$
	Te bewijzen:	$f^{(k+1)}(x)=\frac{(k+1)\, !}{(1-x)^{k+2}}$
	Bewijs :	$f^{(k+1)}(x)= D\, f^{(k)}(x)=D \: \frac{k\, !}{(1-x)^{k+1}}$
		__ = k! . D (1 − x)^−k−1
		__ = k!.(− k − 1)(1 − x)^−k−1−1.(−1)
		__ = k!.(k + 1)(1 − x)^−k−2
		__ $=\frac{(k+1)\, !}{(1-x)^{k+2}} \quad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP