Bewijs door Volledige Inductie

Bewijs van een stelling door Volledige Inductie (mathematical Induction) : Voorbeeld 191

Te bewijzen :	$\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{11}+\cdots +\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{3n+1}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\, \frac{1}{(3i-2)(3i+1)}\; =\; \frac{n}{3n+1}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL=\frac{1}{(3-2)(3+1)}=\frac{1}{4} \quad(eerste\; term)$ $RL= \frac{1}{3.1+1}=\frac{1}{4}$ LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{11}+\cdots +\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{k}{3k+1}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{11}+\cdots +\frac{1}{(3k\! -\! 2)(3k\! +\! 1)}+\frac{1}{(3k\! +\! 1)(3k\! +\! 4)}=\frac{k+1}{3k+4}$
	Bewijs :	$LL = \frac{k}{3k+1}\! +\frac{1}{(3k\! +\! 1)(3k\! +\! 4)}$
		__ $=\frac{1}{3k+1}\left ( k+\frac{1}{3k+4} \right )$
		__ $=\frac{1}{3k+1}\cdot \frac{3k^2+4k+1}{3k+4}$
		__ $=\frac{1}{3k+1}\cdot \frac{(k+1)(3k+1)}{3k+4}$
		__ $=\cdot \frac{k+1}{3k+4}=RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

*Nederlands*	*→ English*	*→ Français*	*→ Deutsch*	*→ Portuguès*	*→ Español*
Gegeven	Given	Donné	Gegeben	Dado	Dado
Te bewijzen	To prove	A prouver	zu beweisen	a provar	a demostrar
Bewijs	Prove	Preuve	Beweis	prova	pruebas
voor de kleinste n-waarde	for the smallest n-value	pour la plus petite valeur n	für den kleinsten n-Wert	para o valor n mais pequeno	para el valor n más pequeño
eerste term	first term	premier terme	der erste Term	o primeiro termo	primer término
m.a.w.	i.e.	c'est-à-dire	d.h.	i.e.	es decir
deelbaar door	divisible by	divisible par	teilbar durch	divisível por	divisible por
even - oneven	even - odd	pair - impair	gerade - ungerade	par - impar	par - impar
laatste getal	last number	dernier numéro	letzte Zahl	último número	último número
geheel	integer	entier	ganze	inteiro	entero