Te bewijzen : | (3 + ![]() ![]() |
Bewijs : | |
Deel I |
Voor de twee kleinste n-waarden 0 en 1 verkrijgen we: (3 + ![]() ![]() (3 + ![]() ![]() ![]() ![]() Omdat we twee startwaarden controleren hebben we hier te doen met de (lichtste) vorm van sterke inductie (strong induction). Het voordeel ervan is dat we in het bewijs voor n = k + 1 niet alleen kunnen terugvallen op de formule voor n = k maar óók voor n = k − 1 |
Deel II | Gegeven : |
(3 + ![]() ![]() (3 + ![]() ![]() |
Te bewijzen: |
(3 + ![]() ![]() | |
Bewijs : |
De (niet evidente) sleutel van het bewijs is het opstellen van een nieuwe formule : an+1+ bn+1 = (a+b)(an + bn) − abn − ban = (a+b)(an + bn) − ab(an−1 + bn−1) Hier toegepast levert dat : | |
__
(3 + ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() − (3 + ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
(3 + ![]() ![]() (3 + ![]() ![]() (3 + ![]() ![]() (3 + ![]() ![]() | ||
Het kan dus niet anders dat (3 + ![]() ![]() ook een geheel getal is Q.E.D. |