Te bewijzen :	(3 + )n + (3 − )n   is geheel  ∀ n ∈ ℕ
Bewijs :
Deel I	Voor de twee kleinste n-waarden 0 en 1 verkrijgen we: (3 + )0 + (3 − )0 = 1 + 1 = 2 (3 + )1 + (3 − )1= (3 + ) + (3 − ) = 6 Omdat we twee startwaarden controleren hebben we hier te doen met de (lichtste) vorm van sterke inductie (strong induction). Het voordeel ervan is dat we in het bewijs voor n = k + 1 niet alleen kunnen terugvallen op de formule voor n = k maar óók voor n = k − 1

Nu gaan we bewijzen dat  S( k ) ∧ S( k−1 ) ⇒  S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k en n = k − 1, ze ook zal gelden voor  n = k + 1

Deel II	Gegeven :	(3 + )k  +  (3 − )k   geheel     ( I.H.) (3 + )k−1 + (3 − )k−1   geheel
	Te bewijzen:	(3 + )k+1 + (3 − )k+1   geheel   (k = 1, 2, ...)
	Bewijs :	De (niet evidente) sleutel van het bewijs is het opstellen van een nieuwe formule : an+1+ bn+1 = (a+b)(an + bn) − abn − ban = (a+b)(an + bn) − ab(an−1 + bn−1) Hier toegepast levert dat :
		__ (3 + )k+1 + (3 − )k+1 = (3 +  + 3 − ).[(3 + )k + (3 − )k]                     − (3 + )(3 − ).[(3 + )k−1 + (3 − )k−1]
		(3 +  + 3 − ) = 6   (geheel) (3 + )(3 − ) = 9 − 5 = 4   (geheel) (3 + )k  +  (3 − )k     is geheel vanwege de I.H. (3 + )k−1 + (3 − )k−1  is geheel vanwege de I.H.
		Het kan dus niet anders dat  (3 + )k+1 + (3 − )k+1 ook een geheel getal is   Q.E.D.

---

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n
Nieuwsgierig naar die gehele getallen ? Hier zijn er een paar :
(3 + )⁰ + (3 − )⁰ =     2
(3 + )¹ + (3 − )¹ =     6
(3 + )² + (3 − )² =   28
(3 + )³ + (3 − )³ =   144
(3 + )⁴ + (3 − )⁴ =   752
(3 + )⁵ + (3 − )⁵ =  3936
(3 + )⁶ + (3 − )⁶ = 20608

---

I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

---