Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	2.2 + 3.2² + 4.2³ + ... + (n+1).2ⁿ = n.2ⁿ⁺¹
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\:\left [(i+1).2^i \, \right ]=n.2^{n+1}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = (1+1).2¹ = 2.2 = 4 (de eerste term) RL = 1.2¹⁺¹ = 2² =4

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	2.2 + 3.2² + 4.2³ + ... + (k+1).2^k = k.2^k+1 ( I.H.)
	Te bewijzen:	2.2 + 3.2² + 4.2³ + ... + (k+1).2^k + (k+2).2^k+1 = (k+1).2^k+2
	Bewijs :	LL = k.2^k+1 + (k+2).2^k+1
		__ = 2^k+1.(k + k+2)
		__ = 2^k+1.(2k + 2)
		__ = 2^k+1.2.(k + 1)
		__ = 2^k+2.(k + 1) = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP