Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n.(3n + 1) = n.(n + 1)²
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: \left [\, i.(3\, i+1) \, \! \right]=n(n+1)^2$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = 1.4 = 4 (de eerste term) RL = 1.(1+1)² = 4 LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k.(3k + 1) = k.(k + 1)² ( I.H.)
	Te bewijzen:	1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k.(3k + 1)+ (k+1).(3k + 4) = (k+1).(k + 2)²
	Bewijs :	LL = k.(k+1)² + (k+1)(3k+4)
		__ = (k+1)(k²+k + 3k+4)
		__ = (k+1)(k² + 4k + 4)
		__ = (k+1).(k+2)²
		__ = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP