| Te bewijzen : | 32n+3 + 40n − 27 is deelbaar door 64 |
| m.a.w. | 64 | (32n+3 + 40n − 27) |
| Bewijs : | |
| Deel I |
Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 verkrijgen we 3³ + 40.0 − 27 = 27 − 27 = 0 deelbaar door 64 |
| Deel II | Gegeven : | 32k+3 + 40k − 27 is deelbaar door 64 ( I.H.) |
| Te bewijzen: | 32k+5 + 40(k+1) − 27 is deelbaar door 64 | |
| Bewijs : 1ste manier | 32k+5 + 40(k+1) − 27 | |
| = 9.32k+3 + 40k + 40 − 27 | ||
| = 9.32k+3 + 9.40k − 8.40k + 40 − 9.27 + 8.27 | ||
| = 9.(32k+3 + 40k − 27) − 8.(40k − 5 − 27) | ||
| = 9.(32k+3 + 40k − 27) − 8.(40k − 32) | ||
| = 9.(32k+3 + 40k − 27) − 8.8.(5k − 4) | ||
|
De eerste term is deelbaar door 64 omwille van de inductiehypothese, de tweede omwille van de factor (8.8) die we hebben kunnen voorop zetten | ||
| Bewijs : 2de manier | Uit de I.H. volgt dat 32k+3+ 40k − 27 = 64v, zodat 32k+3 = 64v − 40k + 27 | |
| 32k+5 + 40(k+1) − 27 | ||
| = 9.32k + 40k + 40 + 27 | ||
| = 9.(64v − 40k + 27) + 40k + 13 | ||
| = 9.64v − 360k + 9.27 + 40k + 13 | ||
| = 9.64v − 320k + 256 | ||
| = 9.26v − 26.5k + 28 | ||
| = 26.(9v − 5k + 22) → deelbaar door 64 (=26) | ||
| Bewijs : 3de manier | LL = 9.32k+3 + 40k − 27 + 40 | |
| __ = (32k+3 + 40k − 27) + 8.32k+3 + 40 | ||
| __ = (32k+3 + 40k − 27) + 8.(32k+3 + 5) | ||
| __ Blijft nog aan te tonen dat (32k+3 + 5) deelbaar is door 8 | ||
| __ 32k+3 + 5 = 32k+3 − 3 + 8 = 3(32k+2 − 1) + 8 | ||
| __ = 3[(3k+1)2 − 1] + 8 = 3.(3k+1 − 1)(3k+1 + 1) + 8 | ||
| __
(3k+1 − 1)(3k+1 + 1) is deelbaar door 8 want (3k+1 − 1) en (3k+1 + 1) zijn twee opeenvolgende even getallen waarbij één ervan ook zeker deelbaar is door 4. |