Bewijs door Volledige Inductie

Bewijs van een stelling door Volledige Inductie (mathematical Induction) : Voorbeeld 172

Te bewijzen :	6ⁿ − 5n − 1 is deelbaar door 25
m.a.w.	25 \| (6ⁿ − 5n − 1)
Bewijs :
Deel I	Voor n = 1 verkrijgen we 6¹ − 5.1 − 1 = 0 deelbaar door 25

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	6^k − 5k − 1 is deelbaar door 25 ( I.H.)
	Te bewijzen:	6^k+1 − 5(k + 1) − 1 = 6^k+1 − 5k − 6 is deelbaar door 25
	Bewijs :	6^k+1 − 5k − 6
		= 6.6^k − 30k + 25k − 6
		= 6.(6^k − 5k − 1) + 25k
		De eerste term is deelbaar door 25 omwille van de inductiehypothese, de tweede omwille van de factor 25 (die zelf deelbaar is door 5)

Alternatief bewijs :
6^k+1 − 5k − 6 = 6.6^k − 5k − 6 = 6^k + 5.6^k − 5k − 1 − 5 = (6^k − 5k − 1) + 5.(6^k − 1)
Blijft nog aan te tonen : 6^k − 1 is deelbaar door 5
6^k is een macht van 6 (6, 36, 216, ...) en die eindigt altijd op 6.
Dus 6^k − 1 eindigt op 5 en is dus deelbaar door 5

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

*Nederlands*	*→ English*	*→ Français*	*→ Deutsch*	*→ Portuguès*	*→ Español*
Gegeven	Given	Donné	Gegeben	Dado	Dado
Te bewijzen	To prove	A prouver	zu beweisen	a provar	a demostrar
Bewijs	Prove	Preuve	Beweis	prova	pruebas
voor de kleinste n-waarde	for the smallest n-value	pour la plus petite valeur n	für den kleinsten n-Wert	para o valor n mais pequeno	para el valor n más pequeño
eerste term	first term	premier terme	der erste Term	o primeiro termo	primer término
m.a.w.	i.e.	c'est-à-dire	d.h.	i.e.	es decir
deelbaar door	divisible by	divisible par	teilbar durch	divisível por	divisible por
even - oneven	even - odd	pair - impair	gerade - ungerade	par - impar	par - impar
laatste getal	last number	dernier numéro	letzte Zahl	último número	último número
geheel	integer	entier	ganze	inteiro	entero