Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\; \: \Rightarrow \; \: \mathbf{A}^n= \begin{bmatrix} 1 & nx \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Bewijs :
Deel I	$voor\; n=1\; is\quad \mathbf{A}^{1}= \begin{bmatrix} 1 & 1.x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\boldsymbol{A}\rightarrow O.K.$

Deel II	Gegeven :	$\mathbf{A}^k= \begin{bmatrix} 1 & kx \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\mathbf{A}^{k+1}= \begin{bmatrix} 1 & (k\!+\! 1)x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
	Bewijs :	We controleren of A^k+1 het resultaat is van zowel A.A^k als A^k.A (Vergeet niet dat het product van matrices niet commutatief is.) (En eigenlijk hoef je niet beide producten uit te rekenen want A en A^k zijn sowieso commutatief !)
		__ $\mathbf{A}^{k+1}=\mathbf{A}^k.\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & kx \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x\! +\!kx \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow O.K.$
		__ $\mathbf{A}^{k+1}=\mathbf{A}.\mathbf{A}^k = \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & kx \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot = \begin{bmatrix} 1 & kx\!+\!x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow O.K.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP