Bewijs door Volledige Inductie

Van een rij {t_n} is bekend dat de som van de eerste n termen, nl. s_n, gelijk is aan 2n − t_n.
Zoek nu eerst de waarden van t₁, t₂, t₃, t₄.
Formuleer je veronderstelling voor de (rechtstreekse) formule van t_n.
Bewijs daarna je formule door middel van Volledige Inductie.
Oplossing:
t₁ = s₁ = 2.1 − t₁ ⇒ 2.t₁ = 2 ⇒ t₁ = 1
s₂ = t₁ + t₂ = 1 + t₂ = 2.2 − t₂ ⇒ 2t₂ = 3 ⇒ t₂ = 3/2

s₃ = t₁ + t₂ + t₃ = 1 + 3/2

+ t₃ = 2.3 − t₃ ⇒ 2.t₃ = 5 − 1/2

⇒ t₃ =

$s_4\!=\!t_1\!+\cdots\!+\!t_4\!=\!1\!+\!\frac{3}{2}\!+\!\frac{7}{4}\!+\!t_4\!=\!2.4\!-\!t_4$ $\Rightarrow 2.t_4\!=\!\frac{32\!-\!4\!-\!6\!-\!7}{4}\!=\!\frac{15}{4}\!\Rightarrow\!t_4\!=\!\frac{15}{8}$
Noemers : 1 2 4 8 → vermoeden = 2ⁿ⁻¹
Tellers : 1 minder dan een macht van 2 → vermoeden 2ⁿ − 1
^{>Vermoeden voor de formule :} $t_n=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

Te bewijzen :	$t_n=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $t_1=\frac{2^1-1}{2^0}=\frac{2-1}{1}=1\; \rightarrow \; O.K.$

Deel II	Gegeven :	$t_k=\frac{2^k-1}{2^{k-1}}$
	Te bewijzen:	$t_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^k}$
	Bewijs :	s_k+1 = s_k + t_k+1
		__ ⇔ 2(k+1) − t_k+1 = 2k − t_k + t_k+1
		__ ⇔ 2 + t_k = 2.t_k+1
		__ $\Leftrightarrow \: 2.t_{k+1} = 2 + \frac{2^k-1}{2^{k-1}}$
		__ $\Leftrightarrow \: t_{k+1} = 1 + \frac{2^k-1}{2^k}=\frac{2^k+2^k-1}{2^k}=\frac{2^{k+1}-1}{2^k} \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP