Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\cdots +\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{n}{4n+1}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\; \frac{1}{(4\, i-3)(4\, i+1)}=\frac{n}{4n+1}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL=\frac{1}{1.5}=\frac{1}{5}$ $RL=\frac{1}{4.1+1}=\frac{1}{5}$ LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\cdots +\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}=\frac{k}{4k+1}$
	Te bewijzen:	$\frac{1}{1.5}\!+\!\frac{1}{5.9}\!+\!\frac{1}{9.13}\!+\!\cdots\!+\!\frac{1}{(4k\!-\!3)(4k\!+\!1)}+\frac{1}{(4k\!+\!1)(4k\!+\!5)}=\frac{k+1}{4k\!+\!5}$
	Bewijs :	$LL = \frac{k}{4k+1} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)}$
		__ $= \frac{4k^2 + 5k + 1}{(4k+1)(4k+5)}$ ^{V(−1) = 4 − 5 + 1 = 0}
		__ $= \frac{(k+1)(4k+1)}{(4k+1)(4k+5)}$
		__ $= \frac{k+1}{4k+5} = RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP