Voor n = 1 verkrijgen we 25 − 6 + 8 = 27 =
| Te bewijzen : | 52n − 6n + 8 = |
| m.a.w. | 9 | 52n − 6n + 8 ∀ n ∈ ℕ |
| Bewijs : | |
| Deel I |
Voor n = 0 verkrijgen we 1 − 0 + 8 = 9 = Voor n = 1 verkrijgen we 25 − 6 + 8 = 27 =
|
| Deel II | Gegeven : | 52k − 6k + 8 = ( I.H.) |
| Te bewijzen: | 52k+2 − 6k + 2 = |
|
| Bewijs : | 52k+2 − 6k + 2 | |
| __= 25.52k − 6k + 2 | ||
| __= 52k − 6k + 8 + 24.52k − 6 | ||
| __= (52k − 6k + 8) + 6.(4.52k − 1) | ||
| __= (52k − 6k + 8) + 6.(2.52 − 1).(2.52 + 1) | ||
| De eerste term (52k − 6k + 8) is al zeker deelbaar door 9 vanwege de I.H. De tweede term is zeker deelbaar door 6 en dus ook door 3. We moeten dus nog naar een tweede factor 3 zoeken. Die zit in één van de factoren (2.52 − 1) of (2.52 + 1). Waarom ? (2.52 − 1), (2.52) en (2.52 + 1) zijn drie opeenvolgende natuurlijke getallen. Eén ervan MOET deelbaar zijn door 3. Vermits 2.52 niet deelbaar is door 3 (bevat geen factoren 3) moet het één van de andere twee zijn, net wat we wilden. De beide termen zijn dus deelbaar door 9, dus ook de hele som Q.E.D. |