Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\sum_{i=1}^{n}\: F_{i}^{\: 2}=F_{n}\cdot F_{n+1}$
	waarbij de index i het rangnummer is van de term in de rij van FIBONACCI : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... d.w.z. F_n + F_n+1 = F_n+2 (vanaf n=1)
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = F₁² = 1² = 1 (de eerste term) RL = F₁ . F₂ = 1.1 = 1 LL = RL → O.K.

Deel II	Gegeven :	$\sum_{i=1}^{k}\: F_{i}^{\: 2}=F_{k}\cdot F_{k+1}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\sum_{i=1}^{k+1}\: F_{i}^{\: 2}=F_{k+1}\cdot F_{k+2}$
	Bewijs :	$LL=\sum_{i=1}^{k}\: F_{i}^{\: 2}\: +\: F_{k+1}^{\: 2}$
		__ $=F_{k}\cdot F_{k+1}\: +\: F_{k+1}^{\: 2}$
		__ $=F_{k+1}\left ( F_{k}+F_{k+1} \right )$
		__ $=F_{k+1}\cdot F_{k+2} = RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n
_{Verduidelijking van de formule met volgende tabel :}

in- dex	F_n	F_n²	$\sum_{i=1}^{n}\: F_{i}^{\: 2}$	F_n . F_n+1
1	1	1	1	= 1.1
2	1	1	2	= 1.2
3	2	4	6	= 2.3
4	3	9	15	= 3.5
5	5	25	40	= 5.8
6	8	64	104	= 8.13
7	13	169	273	= 13.21
8	21	441	715
9

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP