Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$120$\underbrace{3\, 3\ ..... 3}_{n \; cijfers}08 \;\; \; is \; deelbaar \;door \;19$
m.a.w.	12008, 120308, 1203308, 12033308, ... zijn deelbaar door 19
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is het getal 12008 = 19×632 dus deelbaar door 19 → O.K.

Deel II	Gegeven :	$120$\underbrace{3\, 3\ ..... 3}_{k \; cijfers}08 \;\; \; is \; deelbaar \;door \;19$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$120$\underbrace{3\, 3\ ..... 3}_{k+1 \; cijfers}08 \;\; \; is \; deelbaar \;door \;19$
	Bewijs :	$120$\underbrace{3\, 3\ ..... 3}_{k+1 \; cijfers}08\quad is \; deelbaar \;door \;19 \: \; als\;ook \; het\; verschil$
		$120\!\underbrace{3\,3\;.....3}_{k+1\;cijfers}\!08\;-\;120\!\underbrace{3\,3\;.....3}_{k\;cijfers}\!08\quad deelbaar\:\;is\;door\;19$ ^(*)
		12033.....308 −1203.....308 10830....000 = 1083.10^k+2
		Nu is 1083 = 19×57 zodat het verschil wel degelijk deelbaar is door 19

(*) als n₁ en n₂− n₁ deelbaar zijn door 19, m.a.w. als n₁ = 19.k₁ en n₂− n₁ = 19.k₂
dan is na optelling n₂ = 19.(k₁+k₂) en is dus ook n₂ deelbaar door 19

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP