Te bewijzen : | n³ + (n+1)³ + (n+2)³ = (n ∈ ℕ) |
m.a.w. | de som van de derde machten van drie opeenvolgende natuurlijke getallen is steeds een negenvoud |
Bewijs : | |
Deel I |
Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is 0³ + 1³ + 2³ = 0 + 1 + 8 = 9 deelbaar door 9 |
Deel II | Gegeven : | k³ + (k+1)³ + (k+2)³ = ( I.H.) |
Te bewijzen: | (k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ = | |
Bewijs : | LL = (k+1)³ + (k+2)³ + k³ + 3.k².3 + 3.k.3² + 3³ | |
__ = k³ + (k+1)³ + (k+2)³ + 9.(k² + 3k + 3) | ||
k³ + (k+1)³ + (k+2)³ is deelbaar door 9 vanwege de Inducie Hypothese. 9.(k² + 3k + 3) is deelbaar door 9 wanwege de factor 9 Het linkerlid is dus deelbaar door 9 Q.E.D. |