Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\cos\alpha.\cos2\alpha.\cos 4\alpha.\cdots .\cos\: (2^{n}\alpha )=\frac{\sin\: (2^{n+1}\alpha ) }{2^{n+1}.\sin \alpha }$
m.a.w.	$\prod_{i=0}^{n}\; \cos\: (2^{i}\alpha )=\frac{\sin\: (2^{n+1}\, \alpha ) }{2^{n+1}.\sin \alpha }$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is $LL = \cos \, \alpha$ (de eerste factor) $RL = \frac{\sin \, 2\alpha }{2.\sin \alpha }=\frac{2.\sin \, \alpha .\cos \, \alpha }{2.\sin \, \alpha }=\cos \, \alpha$ LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$\cos\alpha.\cos2\alpha.\cos 4\alpha.\cdots .\cos\: (2^{k}\alpha )=\frac{\sin\: (2^{k+1}\alpha ) }{2^{k+1}.\sin \alpha }$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\cos\alpha.\cos2\alpha.\cos 4\alpha.\cdots .\cos\: (2^{k}\alpha ).\cos\: (2^{k+1}\alpha )=\frac{\sin\: (2^{k+2}\, \alpha ) }{2^{k+2}.\sin \alpha }$
	Bewijs :	$LL = \frac{\sin\: (2^{k+1}\, \alpha ) }{2^{k+1}.\sin \alpha }.\cos \, (2^{k+1}\, \alpha )$
		__ $= \frac{2.\sin\: (2^{k+1}\, \alpha ).\cos \, (2^{k+1}\, \alpha ) }{2^{k+2}.\sin \alpha }$ ^{en daar 2.sin α.cos α = sin 2α}
		__ $= \frac{\sin\: (2^{k+2}\, \alpha ) }{2^{k+2}.\sin \alpha }$
		__ = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP