Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$1.C_{n}^{\, 1}+2.C_{n}^{\, 2}+3.C_{n}^{\, 3}+\cdots + n.C_{n}^{\, n} = n\, .\, 2^{n-1}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\; i.C_{n}^{\, i} = n\, .\, 2^{n-1}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinst mogelijke n-waarde, nl. 1 is LL = 1.C₁¹ = 1.1 = 1 (de eerste term) RL = 1.2¹⁻¹ = 2⁰ = 1 LL = RL → O.K.

Deel II	Gegeven :	$1.C_{k}^{\, 1}+2.C_{k}^{\, 2}+3.C_{k}^{\, 3}+\cdots + k.C_{k}^{\, k} = k\, .\, 2^{k-1}$ ( I.H.)
	Te bewijzen:	$1.C_{k+1}^{\, 1}+2.C_{k+1}^{\, 2}+3.C_{k+1}^{\, 3}+\cdots + k.C_{k+1}^{k}+(k+1).C_{k+1}^{\, k+1} = (k+1)\, .\, 2^{k}$
	Bewijs :	$LL = 1.(C_{k}^{\, 0}+C_{k}^{\, 1}) + 2.(C_{k}^{\, 1}+C_{k}^{\, 2})+\cdots + k.(C_{k}^{k-1}+C_k^k) + (k+1).C_{k}^{\,k}$
		__ $= (C_{k}^{0}+C_{k}^{1}+C_{k}^{2}+\cdots C_{k}^{k})+ 2.C_{k}^{\, 1} + 4.C_{k}^{\, 2}+ \cdots 2k.C_{k}^{\, k}$
		__ $= 2^k + 2(C_{k}^1+ {}2.C_{k}^{\, 2}+ \cdots k.C_{k}^{\, k})$ ^{en wegens de I.H.}
		__ $= 2^k +2.k.2^{k-1} = 2^k + k.2^k$
		__ $= 2^k (1+k) = RL \quad Q.E.D.$ In het bewijs hebben we de volgende twee formules gebruikt : ^{1) uit de driehoek van PASCAL :} $C_{n}^{\, k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{\, k}$ 2) *C_n⁰ + C_n¹ + C_n² + ... + C_nⁿ = 2ⁿ*

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP