Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$$$\overbrace{4...4}^{n \;\; keer\; 4}\! \! 3 \: \; \; is\; \mathbf{niet}\; deelbaar\; door\; \; 13$
m.a.w.	43, 443, 4443, 44443, enz. zijn NIET deelbaar door 13
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1, d.w.z. één cijfer 4 verkrijgen we het getal 43, en dat getal is NIET deelbaar door 13.

Deel II	Gegeven :	$$$\overbrace{4...4}^{k \;\; keer\; 4}\! \! 3 \: \; \; is\; \mathbf{niet}\; deelbaar\; door\; \; 13$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$$$\overbrace{4...4}^{k+1 \;\; keer\; 4}$$\!\!\! \! 3 \; \; is\; \mathbf{niet}\; deelbaar\; door\; \; 13$
	Bewijs :	$$$\overbrace{4...4}^{k+1 \;\; keer\; 4}\! \! \! \! \! 3 =$$\overbrace{4...4}^{k \;\; keer\; 4}\! \! 30+13 = 10.$$\overbrace{4...4}^{k \;\; keer\; 4}\: \! \! \! 3 +13$
		Deze som is NIET deelbaar door 13 ! Waarom ? Als die som deelbaar zou zijn door 13 dan zou ook de eerste term 10.(44...43) moeten deelbaar zijn door 13 en dat is NIET het geval want noch 10 (evident), noch 44...43 (wegens de I.H. !) is deelbaar door 13
		Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP