Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$x+x^2+x^3+ \cdots +x^n = \frac{x^{\, n+1}-x}{x-1} \qquad (x \neq 1)$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\; x^{\, i} = \frac{x^{\, n+1}-x}{x-1} \qquad (x \neq 1)$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = x (de eerste term) $RL = \frac{x^{2}-x}{x-1}=\frac{x\! \cdot \! (x-1)}{x-1} = x$ LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$x+x^2+x^3+ \cdots +x^k = \frac{x^{\, k+1}-x}{x-1}$ ( I.H.)
	Te bewijzen:	$x+x^2+x^3+ \cdots +x^k +x^{k+1}= \frac{x^{\, k+2}-x}{x-1}$
	Bewijs :	$LL = (x+x^2+x^3+ \cdots +x^k) +x^{k+1}$
		__ $=\frac{x^{\, k+1}-x}{x-1}+x^{\, k+1}$
		__ $=\frac{x^{\, k+1}-x+x^{^{\, k+1}}.(x-1) }{x-1}$
		__ $=\frac{x^{\, k+1}-x+x^{\, k+2} - x^{\, k+1}}{x-1}$
		__ $=\frac{x^{\, k+2} -x}{x-1}$
		__ = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP