Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\left ( 1\! +\frac{1}{1} \right ).\left ( 1\! +\frac{1}{2} \right ).\left ( 1\! +\frac{1}{3} \right ).\cdots .\left ( 1\! +\frac{1}{n} \right )=n+1$
m.a.w.	$\prod_{i=1}^{n}\: \left (1+\frac{1}{n} \right ) = n + 1$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = (1 + 1) = 2 (de eerste factor) RL = 1 + 1 = 2 LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$\left ( 1\! +\frac{1}{1} \right ).\left ( 1\! +\frac{1}{2} \right ).\left ( 1\! +\frac{1}{3} \right ).\cdots .\left ( 1\! +\frac{1}{k} \right )=k+1$ _( I.H.)
	Te bewijzen:	$\left ( 1\! +\frac{1}{1} \right ). \left ( 1\! +\frac{1}{2} \right ). \left ( 1\! +\frac{1}{3} \right ).\cdots .\left ( 1\! +\frac{1}{k} \right ) .\left ( 1\! +\frac{1}{k+1} \right ) =k+2$
	Bewijs :	$LL = (k+1) .\left ( 1\! +\frac{1}{k+1} \right )$
		__ $= (k+1) .\frac{k+1+1}{k+1}$
		__ = k + 2 = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

Er bestaat een "niet-inductieve" manier om deze gelijkheid te bewijzen :
$\left ( 1+\frac{1}{1} \right ).\left ( 1+\frac{1}{2} \right ).\left ( 1+\frac{1}{3} \right ). \cdots .\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) =2.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}.\cdots .\frac{n+1}{n}$
Alle factoren (tellers,noemers) kunnen weggedeeld worden behalve n+1
zodat het aangetoond is dat het product n+1 is.