Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	1.2¹ + 2.2² + 3.2² + ... + n.2ⁿ = (n − 1).2ⁿ⁺¹ + 2 (n = 1, 2, ...)
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: \left (\, i.2^i \, \right )=(n-1).2^{\, n+1}+2$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = 1.2¹ = 2 (de eerste term) RL = (1 − 1).2¹ + 2 = 0 + 2 =2 LL = RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	1.2¹ + 2.² + 3.2² + ... + k.2^k = (k − 1).2^k+1 + 2 ( I.H.)
	Te bewijzen:	1.2¹ + 2.² + 3.2² + ... + k.2^k + (k+1).2^k+1 = k.2^k+2 + 2
	Bewijs :	LL = (k − 1).2^k+1 + 2 + (k+1).2^k+1
		__ = 2^k+1(k − 1 + k + 1) + 2
		__ = 2^k+1.2.k + 2
		__ = k.2^k+2 + 2
		__ = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

Een variant die op een gelijkaardige manier kan bewezen worden is
$\sum_{i=2}^{n}\: (\: i.2^i\: ) = 2.2^2 + 3.2^3 . \cdots + n.2^n = (n-1).2^{n+1} \quad (n=2,3,...)$