Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	A.B = B. A ⇒ A.Bⁿ = Bⁿ. A (A en B vierkante matrices)
m.a.w.	als de matrices A en B commutatief zijn, dan zijn ook de matrices A en Bⁿ commutatief
Bewijs :
Deel I	De stelling geldt voor de kleinste n-waarde, nl. 1 want A.B = B. A is gegeven

Deel II	Gegeven :	A.B^k = B^k. A
	Te bewijzen:	A.B^k+1 = B^k+1. A
	Bewijs :	A.B^k = B^k. A _{nu beide leden links vermenigvuldigen met B}
		⇒ B.(A.B^k) = B.(B^k. A) _{nu de associatieve eigenschap toepassen}
		⇒ (B.A).B^k = (B.B^k). A _{nu de I.H. toepassen}
		⇒ (A.B).B^k = (B^k+1). A _{nu nog een keer de associatieve eigenschap toepassen}
		⇒ A.(B.B^k) = B^k+1. A
		⇒ A.B^k+1 = B^k+1. A Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP