Te bewijzen : n5 − n   is deelbaar door 30
m.a.w. n5 − n   is een veelvoud van 30
Bewijs :
Deel I Voor de kleinste zinvolle n-waarde, nl. 1 is   (*)
15 − 1 = 1 − 1
Nu gaan we bewijzen dat  S( k ) ⇒  S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor  n = k + 1
Deel II Gegeven : k5 − k   is deelbaar door 30     ( I.H.)
Te bewijzen: (k+1)5 − (k+1)   is deelbaar door 30
Bewijs :   (k+1)5 − (k+1)
= k5 + 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k + 1 − k − 1
= k5 − k + 5k.(k3 + 2k2 + 2k + 1)
  deze derdegraadsveelterm is deelbaar door (k+1) want V(−1) = −1+2−2+1=0
    het quotiënt vinden we met de regel van Horner, zodat we verkrijgen
= (k5 − k) + 5.k.(k+1).(k2 + k + 1)
De eerste term (k5− k) is deelbaar door 30 omwille van de I.H.
De tweede term is deelbaar door 5 én door 2 want k.(k+1) is het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen.
Daar 30 = 5×2×3 moeten we enkel nog een factor 3 zoeken. Elk natuurlijk getal is nu ofwel een drievoud − 1, een drievoud of een drievoud + 1.
In het eerste geval zit de factor 3 in (k+1), in het tweede geval in de factor k, in het derde geval in (k2+k+1)
Immers, een drievoud + 1 heeft de vorm 3p+1 en (3p+1)² + (3p+1) + 1 = 9p² + 6p + 1 + 3p + 1 + 1 = 9p² + 9p + 3 , een drievoud !
Beide termen zijn dus deelbaar door 30, dus ook de som Q.E.D.
Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n
I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP
(*)
Je kan ook met n = 0 beginnen, dan verkrijg je ook 05 − 0 = 0, deelbaar door 30.
Vind je n = 2 de kleinste zinvolle n-waarde begin dan bij n = 2 :
dan is 25 − 5 = 32 − 2 = 30, deelbaar door 30