Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}$ (*)
	Merk op dat er puntjes staan zowel in het eerste lid als in het tweede lid !
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 telt het eerste lid twee termen en het tweede lid één term : $\newline LL=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \newline RL=\frac{1}{1+1} \; (of \; \frac{1}{2.1}) =\frac{1}{2} \quad O.K.\; gelijk$

Deel II	Gegeven :	$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k} =\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}=$ $=\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k+2}$
	Bewijs :	$LL=\left ( \frac{1}{k+1}+ ... +\frac{1}{2k} \right )+\left ( \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2} \right )$ nu volgt een verre van evidente stap
		__ $=\frac{1}{k+1}+\left ( \frac{1}{k+2}+ ... +\frac{1}{2k+2} \right )-\frac{2}{2k+2}$
		__ $=\frac{1}{k+2}+ ...+ \frac{1}{2k+2}$ want de eerste breuk en de laatste breuk heffen elkaar op

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

(*) We verduidelijken de formule met een voorbeeld waarbij n = 3.
Er ontstaan dan in het eerste lid 6 termen en in het tweede lid 3 termen.
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} =\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$
Merk op dat het rechterlid bestaat uit de rechterhelft van de termen van het eerste lid, maar dan allemaal met een plusteken.
Overigens : in het voorbeeld is de som links en rechts gelijk aan $\frac{37}{60}$