Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{3^n} \right )$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: \frac{1}{3^{\, i}}\: =\: \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{3^n} \right )$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = 1 (de eerste term) RL = 1

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{k^3}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{3^k} \right )$
	Te bewijzen:	$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{k^3} + \frac{1}{(k+1)^3}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{3^{k+1}} \right )$
	Bewijs :	$LL =\left (\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{k^3} \right ) + \frac{1}{(k+1)^3}$
		__ $=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{3^k} \right ) + \frac{1}{3^{k+1}}$
		__ $=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^k} + \frac{1}{3^{k+1}}$
		__ $=\frac{1}{2}- \frac{3-2}{3^{k+1}}$
		__ $=\frac{1}{2}- \frac{1}{2.3^{k+1}}$
		__ $=\frac{1}{2} \, \left (1-\frac{1}{3^{k+1}} \right )$ ^{= RL Q.E.D.}

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP