Te bewijzen :	1² − 3² + 5² −7² + ... + (4n − 3)² − (4n − 1)² = −8n² (2n termen in het LinkerLid)
m.a.w.
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = 1 (de eerste term) RL = 1

Deel II	Gegeven :	1² − 3² + 5² −7² + ... + (4k − 3)² − (4k − 1)² = −8k²     ( I.H.)
	Te bewijzen:	1² − 3² + 5² −7² + ... + (4k − 3)² − (4k − 1)² + (4k + 1)² − (4k + 3)² = −8(k + 1)²
	Bewijs :	LL = −8k² + (4k + 1)² − (4k + 3)²
		__= −8k² + 16k² + 8k + 1 − 16k² − 24k − 9
		__= −8k² − 16k − 8
		__= −8(k² + 2k + 1)
		__= −8(k + 1)² = RL   Q.E.D.

---

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

---

I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

---

De stelling is ook nog als volgt te bewijzen :
Neem de termen twee aan twee samen :
LL = (1² − 3²) + (5² −7²) + ... + [(4n − 3)² − (4n − 1)²]
  = (1−3)(1+3) + (5−7)(5+7) + ... +(−2)(4n−3 + 4n−1)
  = − 2[1 + 3 + 5 + 7 + ... + (4n − 3) + (4n − 1)]
Tussen de rechte haken staat de som van de eerste 2n oneven natuurlijke getallen : die som is gelijk aan (2n)²   (bv. 1+3+5+7 = 4²)
  = −2.(2n)² = −8n²