Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	(1² +1).1! + (2² +1).2! + (3² +1).3! + ... + (n² +1).n! = n.(n + 1)!
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n} \: \left [(i\, ^2+1).i\, ! \right ] = n.(n+1)!$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = (1²+1).1! = 2.1 = 2 (de eerste term) RL = 1.2! = 2 O.K. gelijk

Deel II	Gegeven :	(1² +1).1! + (2² +1).2! + (3² +1).3! + ... + (k² +1).k! = k.(k + 1)! ( I.H.)
	Te bewijzen:	(1² +1).1! + (2² +1).2! + (3² +1).3! + ... + (k² +1).k! + [(k+1)² + 1].(k + 1)! = (k + 1).(k + 2)!
	Bewijs :	LL = k.(k + 1)! + [(k+1)² + 1].(k + 1)!
		__ = k.(k + 1)! + (k² + 2k + 2).(k + 1)!
		__ = (k + 1)!.(k² + 3k + 2)
		__ = (k + 1)!.((k + 1)(k + 2) en daar (k + 1)!.(k + 2) = (k + 2)!
		__ = (k + 2)!.(k + 1) = RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP