Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.43}+ \cdots \frac{1}{n.(n+1)} = \frac{n}{n+1}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}=\frac{1}{i.(i+1)}=\frac{n}{n+1}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL = \frac{1}{1.(1+1)}=\frac{1}{2}$ ^{(de eerste term)} $RL = \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ ^{O.K. beiden gelijk}

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.43}+ \cdots \frac{1}{n.(n+1)} = \frac{n}{n+1}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.2}+ \cdots \frac{1}{k.(k+1)}+\frac{1}{(k+1).(k+2)} =\frac{k+1}{k+2}$
	Bewijs :	$LL = \left (\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.2}+ \cdots \frac{1}{k.(k+1)} \right )+\frac{1}{(k+1).(k+2)}$
		__ $=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1).(k+2)}$
		__ $=\frac{k^2+2k+1}{(k+1).(k+2)}$
		__ $=\frac{(k+1)^2}{(k+1).(k+2)}$
		__ $=\frac{k+1}{k+2}$ ^Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n > 0

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

Er bestaat ook een rechtstreeks bewijs van de formule, zelfs korter en eleganter.
Hierbij steunen we op de formule (gemakkelijk zelf te controleren) :
$\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
Bewijs :
$\newline LL= \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots +\frac{1}{n.(n+1)} \newline =\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+ \left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+\cdots +\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right ) \newline =\frac{1}{1} \quad - \frac{1}{n+1} =\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1} =RL$