Bewijs door Volledige Inductie

Bewijs van een stelling door Volledige Inductie (mathematical Induction) : Voorbeeld 22

Te bewijzen :	4²ⁿ⁺¹ + 5²ⁿ⁺¹ + 6²ⁿ⁺¹ is deelbaar door 15
m.a.w.	4^m + 5^m + 6^m is deelbaar door 15 als m oneven is
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste oneven exponent (n= 0) verkrijgen we : 4 + 5 + 6 = 15 deelbaar door 15

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	4^2k+1 + 5^2k+1 + 6^2k+1 is deelbaar door 15 ( I.H.)
	Te bewijzen:	4^2k+3 + 5^2k+3 + 6^2k+3 is deelbaar door 15
	Bewijs :	4^2k+3 + 5^2k+3 + 6^2k+3
		= 16.4^2k+1 + 25.5^2k+1 + 36.6^2k+1
		= 16.(4^2k+1 + 5^2k+1 + 6^2k+1) + 9.5^2k+1 + 20.6^2k+1
		= 16.(4^2k+1 + 5^2k+1 + 6^2k+1) + 9.5.5^2k + 20.6.6^2k
		= 16.(4^2k+1 + 5^2k+1 + 6^2k+1) + 15.(3.5^2k + 8.6^2k)
		De eerste term is deelbaar door 15 als gevolg van de inductiehypothese en de tweede term ook deelbaar door 15 (15 x natuurlijk getal) Besluit : 4^2k+3 + 5^2k+3 + 6^2k+3 is deelbaar door 15 Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 0 (Deel I), n = 1 (Deel II), n = 2 (Deel II), n = 3 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

*Nederlands*	*→ English*	*→ Français*	*→ Deutsch*	*→ Portuguès*	*→ Español*
Gegeven	Given	Donné	Gegeben	Dado	Dado
Te bewijzen	To prove	A prouver	zu beweisen	a provar	a demostrar
Bewijs	Prove	Preuve	Beweis	prova	pruebas
voor de kleinste n-waarde	for the smallest n-value	pour la plus petite valeur n	für den kleinsten n-Wert	para o valor n mais pequeno	para el valor n más pequeño
eerste term	first term	premier terme	der erste Term	o primeiro termo	primer término
m.a.w.	i.e.	c'est-à-dire	d.h.	i.e.	es decir
deelbaar door	divisible by	divisible par	teilbar durch	divisível por	divisible por
even - oneven	even - odd	pair - impair	gerade - ungerade	par - impar	par - impar
laatste getal	last number	dernier numéro	letzte Zahl	último número	último número
geheel	integer	entier	ganze	inteiro	entero