Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\cdots +\frac{1}{(2n-\!1)(2n\!+\!1)}=\frac{n}{2n+1}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: \frac{1}{(2i-1)\cdot (2i+1)}=\frac{n}{2n+1}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL=\frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{3} \quad (eerste\;\; term)$ $RL=\frac{1}{2\cdot1+1}=\frac{1}{3} \quad (O.K.)$

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}$
	Bewijs :	$LL = \frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)\cdot (2k+3)}$
		__ $= \frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)\cdot (2k+3)}$
		__ $= \frac{(k+1)\cdot (2k+1)}{(2k+1)\cdot (2k+3)}$
		__ $= \frac{k+1}{2k+3} \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II),
n = 2 (Deel II), n = 3 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n = 1,2,3,...

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP