Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^n(x-1)} \qquad (x\neq 0,x\neq 1)\\$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: \frac{1}{x^n} = \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^n\cdot (x-1)}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = (de eerste term), gelijk aan ^{RL =} $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x\cdot (x-1)}=\frac{x-1}{x\cdot (x-1)}=\frac{1}{x}$

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^k(x-1)} \qquad (x\neq 0,x\neq 1)\\$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^k}+\frac{1}{x^{k+1}}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^{k+1}\cdot (x-1)} \qquad (x\neq 0,x\neq 1)\\$
	Bewijs :	$LL = \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^k\cdot (x-1)} + \frac{1}{x^{k+1}}$
		__ $=\frac{1}{x-1}-\left (\frac{x}{x^{k+1}\cdot (x-1)} - \frac{1}{x^{k+1}} \right )$
		__ $=\frac{1}{x-1}-\left (\frac{x-x+1}{x^{k+1}\cdot (x-1)} \right )\\$
		__ $=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^{k+1}\cdot (x-1)} \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP