Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots + \frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n} \: \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = (de eerste term) ^{RL =} $2-\frac{1+2}{2^1}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ ^{= LL !}

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots + \frac{k}{2^k}=2-\frac{k+2}{2^k}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots + \frac{k}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}} =2-\frac{k+3}{2^{k+1}}$
	Bewijs :	^{LL =} $\left (\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots + \frac{k}{2^k} \right )+\frac{k+1}{2^{k+1}}$
		__ $=2-\frac{k+2}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}==2+\frac{k+1}{2^{k+1}}-\frac{k+2}{2^k}$
		__ $=2+\frac{k+1-2k-4}{2^{k+1}}=2+\frac{-k-3}{2^{k+1}}$
		__ $=2-\frac{k+3}{2^{k+1}} \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP