∀ n ∈ ℕ
of : n³ − n + 6 is een drievoud
of : n³ − n + 6 is een veelvoud van 3
of :
(n³ − n + 6) is een natuurlijk getaln³ − n + 6 = 0³ − 0 + 6 = 6 =
| Te bewijzen : | n³ − n + 6 = ∀ n ∈ ℕ
|
|
of : n³ − n + 6 deelbaar door 3 of : n³ − n + 6 is een drievoud of : n³ − n + 6 is een veelvoud van 3 of : (n³ − n + 6) is een natuurlijk getal | |
| Bewijs : | |
| Deel I |
Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is n³ − n + 6 = 0³ − 0 + 6 = 6 = |
| Deel II | Gegeven : |
k³ − k + 6 = ( I.H.) |
| Te bewijzen: |
(k + 1)³ − (k + 1) + 6 = |
|
| Bewijs : 1ste manier | (k + 1)³ − (k + 1) + 6 | |
| = k³ + 3k² + 3k + 1 − k − 1 + 6 | ||
| = (k³ − k + 6) + 3.k(k + 1) | ||
|
De eerste term is deelbaar door 3 vanwege de I.H., de tweede factor is deelbaar door 3 omwille van de factor 3 |
||
| Bewijs : 2de manier | (k + 1)³ − (k + 1) + 6 | |
| = (k + 1)[(k + 1)² − 1] + 6 | ||
| = (k + 1)(k² + 2k) + 6 | ||
| = k.(k + 1).(k + 2) + 6 | ||
|
Nu zijn k, k + 1 en k + 2 drie opeenvolgende natuurlijke getallen zodat er minstens één factor 2 tussen zit en precies één factor 3. M.a.w. het product k.(k + 1).(k + 2) is deelbaar door 6 zodat ook k.(k + 1).(k + 2) + 6 deelbaar is door 6. Merk op : in dit (tweede) bewijs hebben we de inductiehypothese NIET nodig gehad ! |