Gegeven zijn twee verschillende getallen a en b.
De rechte door (a, a3) en (b, b3) snijdt de kromme met vergelijking y = x3 in nog een derde punt.
Dit punt heeft als y-coöordinaat
|
A. a + b |
|---|
| B. a − b |
| C. − a − b |
| D. − (a + b)3 |
| E. (a − b)3 |
[ vwo12-(1s16) - op net sinds 5.8.2025-() ]
Deze (16de)vraag werd gesteld in jan 1997 tijdens de eerste ronde van de 12de Vlaamse Wiskunde Olympiade (5de en 6de jaars)
20 % juiste antwoorden - 21% foute antwoorden - 61% blanco antwoorden
Translation in E N G L I S H
IN CONSTRUCTION
|
A. |
|---|
| B. |
| C. |
| D. |
| E. |
Oplossing - Solution
Richtingscoëfficiënt van de rechte door (a,a³) en (b,b³) : \(\frac{b^3-a^3}{b-a}= a^2+ab+b^2\)
Vergelijking van de rechte door deze twee punten :
y - a³ = (a² + ab + b²)( x - a)
De ordinaat van het snijpunt vindt men door oplossing van
x³ - a³ = (a² + ab + b²)( x - a)
⇔ x³ - a³ = a²x - a³ + abx - a²b + b²x - ab²
⇔ x³ - a²x + abx + b²x + a²b + ab² = 0
⇔ x³ - (a² + ab + b²)x + a²b + ab² = 0
⇔ x³ - (a² + ab + b²)x + ab(a + b) = 0
Vermist we reeds weten dat a zowel als b een oplossing moet zijn van deze vergelijking moet je deze vergelijking in de vorm (x -a)(x - b)(x - W) = 0 kunnen 'gieten'.
De constante term van beide vergelijkingen :
ab(a + b) = (-a)(-b)(-W) = -abW zodat W = -(a + b).
De y-coördinaat is de derde macht van dit laatste getal.
