Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$\displaystyle\lim_{x\to\,0}\:(\cos x)^\frac{1}{x^2}\:=$	A. $1$
	B. $e$
	C. $\frac{1}{e}$
	D. $\sqrt e$
	E. $\frac{1}{\sqrt e}$

We houden rekening met de formule a = e^{ln a} zodat ook bv. x^x = e^{x.ln x}
Dit levert :
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\:=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:e^{\frac{\ln\cos x}{x^2}}$
We gaan nu de limiet zoeken van de exponent (grondtal e is constant).
$\displaystyle\lim_{x\to\,0}\:\frac{\ln\cos x}{x^2}\left(=\frac00\right)\overset{H}{=}\lim_{x\to}\:\frac{\frac{1}{\cos x}(-\sin x)}{2x}=-\frac12\lim_{x\to&space;0}\:\frac{\tan x}{x}=-\frac 12$
$\text{Bijgevolg is}\quad\displaystyle\lim_{x\to 0}\:(\cos x)^\frac{1}{x^2}=e^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt e}\;(\approx 0,6)$