Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Wat is het kleinste natuurlijk getal k waarvoor de oppervlakte tussen de parabolen y = ½x² − k en y = −½x² + k meer dan 80 bedraagt ?	A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8

IN CONSTRUCTION smallest integer k > 0 area more than 80	A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8

De abscissen van de snijpunten zijn oplossing van
$-\frac12x^2+k=\frac12x^2-k\;\Leftrightarrow\;2k=x^2\;\Leftrightarrow\;x=\pm\sqrt{2k}$
Wegens symmetrie is die oppervlakte gelijk aan
$4\int_{0}^{\sqrt{2k}}(-\frac12x^2+k)\:dx=-2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2k}}+4k\left[x\right]_0^{\sqrt{2k}}\\=-\frac23.2k.\sqrt{2k}+4k\sqrt{2k}=-\frac43k\sqrt{2k}+\frac{12}3k\sqrt{2k}=\frac83k\sqrt{2k}$
Nu moet $\frac83k\sqrt{2k}>80\;\;\Leftrightarrow\;\;k\sqrt{2k}>30$
Daar beide leden positief zijn mogen we kwadrateren
( a < b ⇔ a² < b² voor alle positieve getallen a en b) :
k².2k > 900 ⇔ k³ > 450
Vermits 8³ = 2⁹ = 510 (denk aan 2⁸ = 256 of 2¹⁰ = 1024)
en 7³ = 49.7 < 50.7 < 350 moet 8 het antwoord zijn.