Te bewijzen : n³ + 2n  is deelbaar door 3
of :  n³ + 2n = deelbaar-door-3
of :  n³ + 2n is een drievoud
of :  n³ + 2n is een veelvoud van 3
of :  1/3(n³ + 2n) is een natuurlijk getal
Bewijs :
Deel I De stelling is waar voor de kleinste n-waarde :
neem je n = 0, dan is n³ + 2n = 0³ + 2.0 = 0 = deelbaar-door-3
neem je n = 1, dan is n³ + 2n = 1³ + 2.1 = 3 = deelbaar-door-3
in beide gevallen dus deelbaar door 3
Deel II Gegeven : k³ + 2k  is deelbaar door 3     ( I.H.)
Te bewijzen: (k + 1)³ + 2(k + 1)  is deelbaar door 3
Bewijs :   (k + 1)³ + 2(k + 1)
= k³ + 3k²+ 3k + 1 + 2k + 2
= (k³ + 2k) + 3(k² + k + 1)
De eerste term is deelbaar door 3 wegens de I.H.
De tweede term is deelbaar door 3 omwille van de factor 3 (× geheel getal)
Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 0 (Deel I), n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n
I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP
Voor deze stelling is er ook een 'gewoon' bewijs mogelijk, dus niet door Volledige Inductie :
n³ + 2n = n.(n² + 2)
Elk natuurlijk getal is ofwel een drievoud, ofwel een drievoud + 1, ofwel een drievoud − 1.
We onderscheiden daarom nu drie gevallen :
a) n een drievoud ⇒ n.(n² + 2) is deelbaar door 3
b) n een drievoud + 1, dus te schrijven als  3k + 1  met k een natuurlijk getal
  dan is n² + 2 = (3k + 1)² + 2 = 9k² + 6k + 1 + 2 = 3.(3k² + 2k + 1)
c) n een drievoud − 1, dus te schrijven als  3k − 1  met k een natuurlijk getal
  dan is n² + 2 = (3k − 1)² + 2 = 9k² − 6k + 1 + 2 = 3.(3k² − 2k + 1)
We hebben dus in alle gevallen kunnen aantonen dat n3 + 2n deelbaar is door 3
P.S. i.p.v. "drievoud − 1" kan je ook "drievoud + 2" nemen